Producto escalar de vectores.

(Se usarán los métodos de cálculo descritos en el "Manual de uso del
soroban" disponible en: http://es.geocities.com/abacosoroban/
Descarga directa: http://es.geocities.com/abacosoroban/manualsoroban.pdf )

Sean dos vectores pertenecientes a la base canónica de Rn:
Va = (a1,a2,a3,...an)
Vb = (b1,b2,b3,...bn)
Se define el producto escalar de dos vectores como:
Va . Vb = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 + ... + an * bn
El producto escalar de vectores es una operación externa, ya que se
multiplican dos vectores pertenecientes al mismo espacio vectorial y
se obtiene un número real.

Son muchas las aplicaciones del producto escalar. Lo interesante en
nuestro caso es que fácilmente se puede calcular el producto escalar
de dos vectores usando un ábaco.

Como ejemplo calcularemos el trabajo realizado por una fuerza que
desplaza un objeto. Por definición el trabajo es el producto escalar
del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Vector fuerza: F=(9,-6,3) N
Vector desplazamiento: r=(12,14,16) m

Con una calculadora científica RPN:
9 Enter 12 * 6 Enter 14 * - 3 Enter 16 * +
También se pueden ingresar los dos vectores y pulsar DOT

Con una calculadora científica algebraica:
9 * 12 – 6 * 14 + 3 * 16 =

Lógicamente el resultado es el mismo: 72 Nm = 72 J

Con el ábaco:

En primer lugar se multiplica 9 por 12.
9 * 1 = 09, que se suma en CB -> B+5+4
9 * 2 = 18, que se suma en BA -> C+1 B-5-4 A+5+3
EDCBA
00108

En segundo lugar se multiplica 6 por 14 y el resultado se resta (- * +
= -) del 108 presente en el ábaco.
6 * 1 = 06, que se resta de CB -> C-1 B+4
6 * 4 = 24, que se resta de BA -> B-2 A-5+1
EDCBA
00024

Por último se multiplica 3 por 16 y se suma el resultado al 24
presente en el ábaco.
3 * 1 = 03, que se suma en CB -> B+5-2
3 * 6 = 18, que se suma en BA -> B+2 A-2
EDCBA
00072

El resultado es 72 J.

Cuando dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.
Utilice dicha propiedad para responder a las siguientes cuestiones:

1- ¿Son perpendiculares los vectores A=(14,16,-31) y B=(8,-3,-2)?
2- Si los vectores V=(-24,32,6) y W=(9,12,k) son perpendiculares,
¿cuál es el valor de 'k'?

No utilice lápiz y papel, sólo su ábaco. Si quiere, puede.

Saludos cordiales,
Fernando Tejón.