Fracciones continuas(1).

Cualquier número racional (que que puede representarse como el
cociente de dos números enteros) se puede representar como una
fracción continua finita. El algoritmo de Euclides permite el cálculo
del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de dos números
(2) y también será el utilizado en el ábaco para obtener la los
denominadores de la fracción continua correspondiente a cualquier
número racional.
Una de las representaciones de un número en forma de fracción continua
es [a0;a1,a2,a3,...,an], en la que a0 es la parte entera del número y
a1, a2, a3,..., an son los sucesivos denominadores de la fracción
continua. En el ábaco se anotará el numerador del número y a la
derecha el denominador. Se resta el menor del mayor tantas veces como
sea posible (puede utilizar la
multiplicación para reducir el número de restas), anotando en el
ábaco el número de restas efectuadas, que es el primer coeficiente de
la fracción continua. Repita el proceso de restar el menor del
mayor las veces que sea posible y anotando el número de restas
efectuadas hasta que uno de los dos números se convierta en 0. Los
sucesivos números de restas efectuadas son los coeficientes a0; a1,
a2, a3,..., an.

Ejemplo 1
13 / 5 = [2;1,1,2]

Se anota el numerador en ED y el denominador en A
E+1 D+3 A+5
LKJIHGFEDCBA
000000013005

Ahora se resta el menor (5 en A) del mayor (13 en ED) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en L.
El valor anotado en L es a0.
E-1 L+2 -> L+2
LKJIHGFEDCBA
200000003005

De nuevo se resta el menor (3 en D) del mayor (5 en A) tantas veces
como sea posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en J.
El valor anotado en J es a1.
A-5+2 J+1 -> J+1
LKJIHGFEDCBA
201000003002

Se resta el menor (2 en A) del mayor (3 en D) tantas veces como sea
posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en H. El valor
anotado en H es a2.
D-2 H+1 -> H+1
LKJIHGFEDCBA
201010001002

Por último se resta el menor (1 en D) del mayor (2 en A) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en F.
El valor anotado en F es a3.
A-2 F+2 -> F+2
LKJIHGFEDCBA
202010201000

Uno de los números anotados inicialmente ha desaparecido, por lo que
se ha terminado el cálculo. 13 / 5 = [2;1,1,2]

Ejemplo 2
15,34 = [15;2,1,16]

En este caso a0 = 15. La parte no entera del número se puede poner en
forma de fracción: 0,34 = 34/100. Aplicaremos el método a 34/100 para
obtener los coeficientes a1, a2, a3,..., an.
En primer lugar se anota el numerador en FE y el denominador en CBA
F+3 E+4 C+1
LKJIHGFEDCBA
000000340100

Ahora se resta el menor (34 en FE) del mayor (100 en CBA) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en L.
El valor anotado en L es a1.
C-1 B+4 B-1 A+2 -> L+2
LKJIHGFEDCBA
200000340032

Se resta el menor (32 en BA) del mayor (34 en FE) tantas veces como
sea posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en J. El
valor anotado en J es a2.
F-3 E-2 -> J+1
LKJIHGFEDCBA
201000020032

Por último se resta el menor (2 en E) del mayor (32 en BA) tantas
veces como sea posible (16), y se anota el número de restas efectuadas
en HG. El valor anotado en HG es a3.
B-3 A-2 -> H+1 G+5+1
LKJIHGFEDCBA
201016020000

Uno de los números anotados inicialmente ha desaparecido, por lo que
se ha terminado el cálculo. 15,34 = [15;2,1,16]


Notas:
(1) - Recomendable lectura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
(2) - Tema 9 del Manual de uso del ábaco japonés soroban (
http://es.geocities.com/abacosoroban )

Saludos cordiales,
Fernando Tejón.