Fracciones continuas(1).

Cualquier número racional (que que puede representarse como el
cociente de dos números enteros) se puede representar como una
fracción continua finita. El algoritmo de Euclides permite el cálculo
del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de dos números
(2) y también será el utilizado en el ábaco para obtener los
denominadores de la fracción continua correspondiente a cualquier
número racional.
Una de las representaciones de un número en forma de fracción continua
es [a0;a1,a2,a3,...,an], en la que a0 es la parte entera del número y
a1, a2, a3,..., an son los sucesivos denominadores de la fracción
continua. En el ábaco se anotará el numerador del número y a la
derecha el denominador. Se resta el menor del mayor tantas veces como
sea posible (puede utilizar la multiplicación para reducir el número
de restas), anotando en el ábaco el número de restas efectuadas, que
es el primer coeficiente de la fracción continua. Repita el proceso de
restar el menor del mayor las veces que sea posible y anotando el
número de restas efectuadas hasta que uno de los dos números se
convierta en 0. Los sucesivos números de restas efectuadas son los
coeficientes a0; a1, a2, a3,..., an.

Ejemplo 1
13 / 5 = [2;1,1,2]

Se anota el numerador en ED y el denominador en A
E+1 D+3 A+5
LKJIHGFEDCBA
000000013005

Ahora se resta el menor (5 en A) del mayor (13 en ED) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en L.
El valor anotado en L es a0.
E-1 L+2 -> L+2
LKJIHGFEDCBA
200000003005

De nuevo se resta el menor (3 en D) del mayor (5 en A) tantas veces
como sea posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en J.
El valor anotado en J es a1.
A-5+2 J+1 -> J+1
LKJIHGFEDCBA
201000003002

Se resta el menor (2 en A) del mayor (3 en D) tantas veces como sea
posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en H. El valor
anotado en H es a2.
D-2 H+1 -> H+1
LKJIHGFEDCBA
201010001002

Por último se resta el menor (1 en D) del mayor (2 en A) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en F.
El valor anotado en F es a3.
A-2 F+2 -> F+2
LKJIHGFEDCBA
201010201000

Uno de los números anotados inicialmente ha desaparecido, por lo que
se ha terminado el cálculo. 13 / 5 = [2;1,1,2]

Ejemplo 2
15,34 = [15;2,1,16]

En este caso a0 = 15. La parte no entera del número se puede poner en
forma de fracción: 0,34 = 34/100. Aplicaremos el método a 34/100 para
obtener los coeficientes a1, a2, a3,..., an.
En primer lugar se anota el numerador en FE y el denominador en CBA
F+3 E+4 C+1
LKJIHGFEDCBA
000000340100

Ahora se resta el menor (34 en FE) del mayor (100 en CBA) tantas veces
como sea posible (2), y se anota el número de restas efectuadas en L.
El valor anotado en L es a1.
C-1 B+4 B-1 A+2 -> L+2
LKJIHGFEDCBA
200000340032

Se resta el menor (32 en BA) del mayor (34 en FE) tantas veces como
sea posible (1), y se anota el número de restas efectuadas en J. El
valor anotado en J es a2.
F-3 E-2 -> J+1
LKJIHGFEDCBA
201000020032

Por último se resta el menor (2 en E) del mayor (32 en BA) tantas
veces como sea posible (16), y se anota el número de restas efectuadas
en HG. El valor anotado en HG es a3.
B-3 A-2 -> H+1 G+5+1
LKJIHGFEDCBA
201016020000

Uno de los números anotados inicialmente ha desaparecido, por lo que
se ha terminado el cálculo. 15,34 = [15;2,1,16]

Si la parte no entera de un número tiene infinitas cifras pero es
periódica entonces dicho número se puede representar como cociente de
dos números enteros, es decir, es un número racional y admite ser
representado en forma de fracción continua finita. Los siguientes
ejemplos pueden servir de ejercicio para el lector:
2,33333... = (23-2)/9 = 21/9 = [2;3]
1,232323... = (123-1)/99 = 122/99 = [1;4,3,3,2]
7,5646464... = (7564-75)/990 = 7489/990 = [7;1,1,3,2,1,2,1,1,1,1,2]

La sucesión de Fibonacci tiene a1=1, a2=1, y los demás términos se
obtienen sumando los dos precedentes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Es muy fácil obtener los sucesivos términos con la ayuda de un ábaco.
Anote 1 a la derecha y otro 1 a la izquierda. Sume el 1 de la derecha
al de la izquierda, se obtiene 2. Sume el 2 obtenido en la izquierda
al 1 de la derecha, se obtiene 3. Si se sigue sumando lo obtenido en
un lado al otro lado se obtienen sucesivamente los términos de la
sucesión. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de
Fibonacci tiende al número de oro (phi = 1,618033988...), con error
decreciente a medida que los términos aumentan. Tome dos términos
consecutivos de la sucesión de Fibonacci previamente obtenidos con el
ábaco, cuyo cociente es una aproximación de phi (no use los dos
primeros términos), y transforme el cociente en fracción continua.
Repita el proceso para otros dos términos mayores. ¿Nota algo especial
en las fracciones continuas obtenidas? ¿Se atrevería el lector a dar
la fracción continua correspondiente al número phi? No use ni una
calculadora electrónica ni lápiz y papel, sólo su soroban. ¿Puede
hacerlo, amable lector? Si quiere, puede.

Notas:
(1) - Recomendable lectura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
(2) - Tema 9 del Manual de uso del ábaco japonés soroban (
http://es.geocities.com/abacosoroban )

Saludos cordiales,
Fernando Tejón.