El sistema de numeración usado en la actualidad es posicional y con
base diez, por ello se necesitan diez símbolos o cifras diferentes
para representar cualquier número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. En
un sistema posicional el valor de cada cifra depende de su posición
dentro del número, por ejemplo, el número 352 está formado por 2
unidades de primer orden (unidades), 5 unidades de segundo orden
(decenas) y tres unidades de tercer orden (centenas). Matemáticamente
352 es una forma abreviada de su forma completa: 3*10^2+5*10^1+2*10^0
= 3*100+5*10+2*1 = 352

En cualquier sistema de numeración posicional el primer número de dos
cifras es 10, y todos los números en ese sistema son de la forma:

K(n)*10^n+K(n-1)*10^(n-1)+...+K(1)*10^1+K(0)*10^0 +
K(-1)*10^(-1)+...K(0)*10^0+K(-m-1))*10^(-(m-1)) =
K(n)K(n-1)...K(1)K(0)K(-1)...K(-(m-1))K(-m) (forma abreviada)

En cualquier sistema de numeración posicional la fórmula anterior es
válida, la diferencia con el sistema decimal es que en otra base se
necesitarán tantos diferentes símbolos o cifras para representar los
números como el número que determina la base:
Base 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Base 2: 0,1.
Base 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Si la base es mayor que 10 se necesitan nuevos símbolos para las
cifras, generalmente se usan letras mayúsculas en orden alfabético:
Base 12: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, '10', '11'. = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, A, B.
Base 20: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, '10', '11', '12', '13', '14',
'15', '16', '17', '18', '19' = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F, G, H, I, J.

Así, en el sistema vigesimal el número 5C8 (5.12.8) es la forma
abreviada de la forma larga: 5*10^2 + C*10^1 + 8*10^0 = 5*100 + C*10 +
8*1 = 5C8.

Un ábaco es una herramienta muy eficaz para hacer cálculos en
cualquier base. Un soroban, con disposición de cuentas 1-4 (altocuenta
con valor 5, cada hipocuenta con valor 1), opera naturalmente en el
sistema decimal que es el universalmente usado en la actualidad.
Dejando algunas cuentas sin uso, o añadiendo más cuentas, se pueden
realizar cálculos en otras bases numéricas. Por ejemplo, se pueden
hacer cálculos en base 5 en un soroban normal si sólo se usan las
hipocuentas. Un soroban de estilo antiguo (1-5) es ideal para cálculos
en base 12 (altocuenta con valor 6, cada hipocuenta con valor 1). Un
suanpan -ábaco chino (2-5)- es ideal para ser usado en base 16 (cada
altocuenta con valor 5, cada hipocuenta con valor 1), un
nepohualtzintzin -ábaco maya (3-4) es el más adecuado para operar en
el sistema vigesimal (cada altocuenta con valor 5, cada hipocuenta con
valor 1), etc.

Con un soroban se puede fácilmente transformar números de la base 10 a
otra base, o de una base cualquiera a base 10. Como ejemplo
transformaremos un número de la base 10 a la base 12 y viceversa.

Paso de base 10 a base 12:
Se divide el número inicial entre 12 hasta que el resto de la división
sea menor que 12. El cociente de la división anterior se divide de
nuevo entre 12 hasta que el nuevo resto de la división sea menor que
12. Se siguen dividiendo los sucesivos cocientes entre 12 hasta que se
llegue a un cociente menor que 12. Los restos de las divisiones y el
último cociente son las cifras del número inicial en la base 12.
Ejemplo: 2008(10) -> 11B4(12).
Se anota 2008 en DCBA y 12 (opcional) en RQ:
D+2 A+5+3 R+1 Q+2
RQPONMLKJIHGFEDCBA
120000000000002008


Se divide normalmente 2008 entre 12 hasta que el resto sea menor que 12:
F+1 D-2 C+5+3
E+5+1 C-5-3 B+5+3
D+5+2 B-5-3 A-5+1
RQPONMLKJIHGFEDCBA
120000000000167004

El primer resto es 4. Se divide 167 entre 12 hasta que el resto sea
menor que 12:
H+1 F-1 E-5+3
G+3 E-3 D-6
RQPONMLKJIHGFEDCBA
120000000013011004

El segundo resto es 11. Se hace la última división:
J+1 H-1 G-2
RQPONMLKJIHGFEDCBA
120000001001011004

El número decimal 2008 es 1.1.11.4 ( o también 11B4) en la base 12,
también denominada 'duodecimal'.
¿Podría haberlo hecho el lector con la misma rapidez usando su
calculadora electrónica?

Paso de base 12 a base 10:
Transformaremos el número duodecimal 11B4 (1.1.11.4) a la base 10.
Para ello usaremos la fórmula de transformación, poniendo los valores
en la base 10:
11B4 = 1.1.11.4 = 1 * 12^3 + 1 * 12^2 + 11 * 12^1 + 4 * 12^0 = 1 *
1728 + 1 * 144 + 11 * 12 + 4 * 1 = 2008.

Se multiplica 1 por 1728 y se suma el resultado en DCBA:
D+1 C+5+2 B+2 A+5+3
JIHGFEDCBA
0000001728

Se multiplica 1 por 144 y se suma el resultado en CBA:
C+1 B+5 A-5-1
JIHGFEDCBA
0000001872

Se multiplica 11 por 12 y se suma al número anotado en el soroban (se
suma 12 en CB y 12 en BA):
C+1 B+2 D+1 C-5-4 B-5-4 A+2
JIHGFEDCBA
0000002004

Finalmente se multiplica 4 por 1 y se suma:
A+5-1
JIHGFEDCBA
0000002008

El resultado es 2008.

Saludos cordiales,
Fernando Tejón.